平面法向量的求法及其应用安徽合肥郭建德
引言：本节介绍平面法向量的三种求法并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
一、平面的法向量


1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类
（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法
方法一内积法在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量
xy1或

x1z，或
1yz，在平面内任找两个不共线的向量ab。由
，得

a0且
b0，由此得到关于xy的方程组，解此方程组即可得到
。方法二：任何一个xyz的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是xyz的一次方程。AxByCzD0ABC不同时为0，称为平面的一般方程。其法向

量
ABC若平面与3个坐标轴的交点为P1a00P20b0P300c如图所示则平面方程为xyz1称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法
abc
向量。
方法三外积法设为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长
度等于absi
，（θ为两者交角，且0），而与皆垂直
的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方



向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向abba。

设a

x1
y1

z1b

x2
y2
z2则

ab


y1y2
z1x1z2x2
z1x1z2x2
y1y2

a（注：1、二阶行列式M
c
badcb；2、适合右手定则。）D1zd
A1E
C1B1


例1、已知，a210b121，
F
y
D
C
A图11Bx
1
f

试求（1）：ab（2）：ba


Key1ab1252ba125
例2、如图11在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，
求平面AEF的一个法向量
。key法向量
AFAE122
二、平面法向量的应用
1、求空间角

B

B

1、求线面角：如图21，设
是平面的法向
量，
AB是平面的一条斜线，A，则AB与平面α
所成的角为：

r