图
211

2





AB

2
arccos

AB



AB

图
212




AB

2

arccos

AB



AB

2

C
Aα
图211



C
A
图212

si
cos
AB

2、求面面角设向量m，
分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：

β



m

β


αm

α
图22
图23




m

arccos
m

（图22）
m



m


arccos
m

图23
m

两个平面的法向量方向选取合适可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图22



中，m的方向对平面而言向外，
的方向对平面而言向内；在图23中，m的方向对

平面而言向内，
的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外
2
f积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法
向量的夹角即为二面角l的平面角。
2、求空间距离（1）、异面直线之间距离
方法指导：如图24①作直线a、b的方向向量a、b，

求a、b的法向量
，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；B
b

②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；

a


③求向量AB在
上的射影d，则异面直线a、b间的距离为

d


AB




其中


a


b
A
a
B
b


（2）、点到平面的距离
方法指导：如图25若点B为平面α外一点，点A
为平面α内任一点，平面的法向量为
，则点P到




平面α的距离公式为dAB


（3）、直线与平面间的距离
方法指导：如图26直线a与平面之间的距离：
AB

d
，其中ABa。
是平面的法向量


图24
A


M
B
α
NAO
图25


Ba
α
A
图26


β
B
（4）、平面与平面间的距离
方法指导：如图27两平行平面之间的距离：
α
A
图27

d


AB



，其中AB
。

是平面
、
的法向量。

m

aa


α
3、证明
图28


（1）、证明线面垂直：在图28中m向是平面的法向量，a是
a
a
m
α


直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ma）。
图29


（2）、证明线面平行：在图29中m向是平面的法向量，a是直线a
β



m
α
3
图210
f
的方向向量，证明平面r