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20192020高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理123弦切角定理学案新人教B版选修4_1
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f1．23弦切角定理
对应学生用书P22
读教材填要点1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．
小问题大思维一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．
对应学生用书P23
弦切角的定义
例1如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．
思路点拨
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f本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．
精解详析由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：1顶点在圆上顶点为圆切线的切点；2一边和圆相切一边所在直线为圆的切线；3一边和圆相交一边为圆的过切点的弦．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？
解：弦切角分三类：如题图：1圆心在角的外部；2圆心在角的一边上；3圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角
弦切角定理及其推论
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f例2已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D求证：∠DAC＝∠CAB思路点拨本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．精解详析法一：如图1，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于A，∵CD⊥AE，
∴＝又∵∠DAC的度数＝12
的度数．
∠CAB的度数＝12的度数．∴∠DAC＝∠CAB法二：如图2，延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠CAE＝90°又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E∵AB是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠E∴∠DAC＝∠CAB法三：如图3，连接OA∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO∴∠DAC＝∠CAB法四：如图4，过C作⊙O的切线交AB于G
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f∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB
1由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦r