在棱的中点，ABBC6cmAA14cm，3D
打印所用原料密度为09gcm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________
2019年高考数学试题分类汇编立体几何第3页共10页
f答案：1188g
解析：由题意得挖去的四棱锥的底面GHEF是一个菱形面积S2×HF×GE12cm2所以四棱锥的体积Vsh1×12×312cm33所以该模型的体积为V剩余6×6×412132cm又因为原料密度为09gcm3所以该模型所用原料质量为132×091188g
3、（2019年高考江苏卷9）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥
EBCD的体积是

答案：10
解析：因为
VEBCDV

13
S
BCD
EC
SABCDC1C
1SBCD3SABCD
ECC1C
111132212
VEBCD

1V12

11201012
三、解答题
1、（2019年高考全国I卷理科18）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，∠
BAD60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角AMA1N的正弦值．
解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME
12
B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND1A1D．2
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则
A200，A12，0，4，M132，N102，A1A004，A1M132，A1N102，MN030．
2019年高考数学试题分类汇编立体几何第4页共10页
f设
m

x
y
z
为平面A1MA的法向量，则
m

MN

0

MN0
所以
x4z
3y0．
2z

0，可取
m


310．
设




p
q
r
为平面A1MN的法向量，则
m

MN

0

MN0
所以

3qp2r
0，可取0．



2
0
1
．
于是cosm


m
m‖


22
35

15，5
所以二面角AMA1N的正弦值为105
2、（2019年高考全国I卷文科19）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，∠BAD60°，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
解：
（1）连结
B1C
ME
因为M，E分别为
BB1
BC
的中点，所以
ME
∥
B1C
，且
ME

12
B1C
又因为N
为
A1D
的中点，所以
ND

12
A1D

由题设知A1B1∥DC，可得B1C∥A1D，故ME∥ND，因此四边形MNDE为r