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专题12解三角形的方法
【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．【方法总结】1利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：1已知两角和任一边，求其他两边和一角；2已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求出其他的边和角2由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞Ba＞bsi
A＞si
B3已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况存在两解、一解和无解三种可能而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”4利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：1已知三边，求三个角；2已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；3已知两边和其中一边的对角，求其他边和角4由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定【三角形解题方法类型】（一）正余弦定理的灵活应用
例1．在中，

（1）求角的大小；
（2）求
的取值范围
【答案】（1）；（2）
【解析】（Ⅰ）由正弦定理，求得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得图象与性质，即可求解
【详解】（1）因为
，化简
，再由余弦定理，求得
，即可求解的大小；，根据三角函数的

由正弦定理
，得
，
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由余弦定理
，
又因为
，所以
（二）三角形中的中线问题
例2．在（Ⅰ）求
中，内角；
的对边分别为，若
Ⅱ若为边的中线，且
，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理得，
，

，进而得到
即
，由
（Ⅱ）设
，∴的值；

在中，由余弦定理得的面积．
由
得到，最后由正弦定理可得
，解得得到三边长，结合（Ⅰ）可求
（Ⅱ）设

在中，由余弦定理得
即
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解得
∴

∴的面积

练习1．在△ABC中，角A，BC的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝
（1）求B；
（2）求BC边上的中线长．
，2si
C＝5si
A．
【答案】（1）60°；（2）【解析】（1）又2si
C＝5si
A，利用正弦定理可得：2c＝5a，又a＝2，解得c．利用余弦定理即可得出B；（2）利用余弦定理求出BC边上的中线即可．
练习2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

（1）求角C的大小；
（2）若A，△ABC的面积为，M为BC的中r