131二项式定理
学习目标1能用计数原理证明二项式定理2掌握二项式定理及其展开式的通项公式3会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识点二项式定理及其相关概念
思考1我们在初中学习了a＋b2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导a＋b3，a＋b4
的展开式．
答案a＋b3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，a＋b4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
思考2能用类比方法写出a＋b
∈N的展开式吗？
答案能，a＋b
＝C0
a
＋C1
a
－1b＋…＋Ck
a
－kbk＋…＋C
b
∈N．梳理
二项式定理二项式系数
通项
公式a＋b
＝C0
a
＋C1
a
－1b＋…＋Ck
a
－kbk＋…＋C
b
，称为二项式定理Ck
k＝01，…，
Tk＋1＝Ck
a
－kbk
二项式定理的特例
1＋x
＝C0
＋C1
x＋C2
x2＋…＋Ck
xk＋…＋C
x

1．a＋b
展开式中共有
项．×2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．×3．Ck
a
－kbk是a＋b
展开式中的第k项．×4．a－b
与a＋b
的二项式展开式的二项式系数相同．√
类型一二项式定理的正用、逆用
例11求3x＋1x4的展开式．
考点二项式定理题点运用二项式定理求展开式
1
f解方法一3x＋1x4＝3x4＋C143x31x＋C243x21x2＋C343x1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12方法二3x＋1x4＝3x＋x14＝x121＋3x4＝x121＋C143x＋C243x2＋C343x3＋C443x4＝x121＋12x＋54x2＋108x3＋81x4＝x12＋1x2＋54＋108x＋81x22化简：C0
x＋1
－C1
x＋1
－1＋C2
x＋1
－2－…＋－1kCk
x＋1
－k＋…＋－1
C

考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简解原式＝C0
x＋1
＋C1
x＋1
－1－1＋C2
x＋1
－2－12＋…＋Ck
x＋1
－k－1k＋…＋C
－1
＝x＋1＋－1
＝x
引申探究若1＋34＝a＋b3a，b为有理数，则a＋b＝________答案44解析∵1＋34＝1＋C14×31＋C24×32＋C34×33＋C44×34＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44反思与感悟1a＋b
的二项展开式有
＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于
；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由
逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到
2逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1化简：2x＋15－52x＋14＋102x＋13－102x＋12＋52x＋1－1考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简解原式＝C052x＋15－C152x＋14＋C252xr