2020年全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案
一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．方程组

x

y
12
的实数解的个数为（
）
xy6
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
解：选（A）。当x≥0时，则有y－y6无解；当x0时，则y＋y18解得：y9此时x－3
2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个
但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）
（A）14
（B）16
（C）18
（D）20
解：选（B）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2345），黑球（0123）共4×4＝16种
3．已知a、b、c是三个互不相等的实数，且三个关于x的一元二次方程ax2bxc0，
bx2cxa0，cx2axb0恰有一个公共实数根，则a2b2c2的值为（）bccaab
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
解：选（D）。设这三条方程唯一公共实数根为t，则at2btc0，bt2cta0，ct2atb0
三式相加得：abct2t10，因为t2t10，所以有abc0从而有a3b3c33abc，
A
所以a2b2c2＝a3b3c3＝3abc3
bccaab
abc
abc
4．已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相
KF
L
交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心
mD
H
E

C
解：选（B）。如图△ADE外接圆的圆心为点F，由题意知：⊙O与⊙F是等圆，B
O
且弧DmE＝弧D
E，所以∠EAB＝∠ABE，∠DAC＝∠ACD，
即△ABE与△ACD都是等腰三角形。分别过点E，F作AB，AC边上的垂线，
相交于点H，则点H是△ABC的外心。又因为∠KHD＝∠ACD，
所以∠DHE∠ACD＝∠DHE∠KHD＝180°，即点H，D，C，E在同一个圆上，
也即点H在⊙O上，因而⊙O经过△ABC的外心。
5．方程x36x25xy3y2的整数解x，y的个数是（）
（A）0
（B）1（C）3
（D）无穷多
解：选（A）。原方程可变形为：xx1x23xx1yy1y12，左边是6的倍数，而右边不是6
的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
１
f2020年全国初中数学竞赛试题及答案
6．如图，点A，C都在函数y33x0的图像上，点B，D都在x轴上，x
且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为
．
解：填D260。设OB＝2a，BD＝2b，由△OAB，△BCD都是等r