x0
y0在椭圆
x2a2

y2b2
1上，
故
x02a2

y02b2
1
代入②得
x0xa2

y0yb2
1…………③
而当xa时，y00切线方程为xa，也满足③式
故
x0xa2

y0yb2
1是椭圆过点Px0
y0的切线方程
预备定理2
若点
P
x0

y0

是双曲线
x2a2
y2b2
1上任一点，则双曲线过该
点的切线方程为：
x0xa2

y0yb2
1
证明：由
y2b2

x2a2
1
y2

b2

xa
22
1……①
1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且kyxx0
∴对①式求导：2yy
2b2a2
x0∴k

yxx0

b2x0a2y0
∴切线方程为
y

y0


b2x0a2y0
x

x0…………②
x2∵点Px0y0在双曲线a2

y2b2
1上，
故
x02a2

y02b2
1
代入②得
x0xa2

y0yb2
1…………③
而当xa时，y00切线方程为xa，也满足③式
故
x0xa2

y0yb2
1是双曲线过点
Px0
y0的切线方程
预备定理3若点Px0y0是抛物线y22px上任一点，则抛物线过该点的
3
f切线方程是y0ypxx0
证明：由
y2

2px，对x求导得：2yy
2p
k

yxx0
py0
当
y0
0时，切线方程为y
y

py0
xx0
即y0yy02pxpx0
而y022px0y0ypxx0………………①
而当y00x00时，切线方程为x00也满足①式
故抛物线在该点的切线方程是y0ypxx0
定理1椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分
（图21）
已知：如图，椭圆C
的方程为
x2a2

y2b2
1，F1F2分别是其左、右焦点，l
是过
椭圆上一点Px0y0的切线，l为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D
设F2PDF1PD，
求证：
证法一：在C
x2a2

y2b2
1上，Px0
y0C，
则过点
P
的切线方程为：
x0xa2

y0yb2
1
l是通过点P且与切线l垂直的法线，L’
y
F1
D
x
OF2F2
则
l


y0b2
x


x0a2


x0
1y0b2

1a2

L
2
图21
∴法线
l

与
x
轴交于
D
ca
2
x0

0
∴
F1D
c2a2
x0
c
F2D
c
c2a2
x0
∴F1Da2cx0
F2Da2cx0
又由焦半径公式得：PF1aex0PF2aex0
4
f∴F1DPF1
F2DPF2
∴PD是F1PF2的平分线∴∵90，故可得
证法二：由证法一得切线l
的斜率k

yxx0

b2x0a2y0
，而
PF1的斜率k1

y0x0
c
，PF2
的斜率k2

y0x0
c
∴l到PF1所成的角满足
ta
k1k1kk1

1
y0x0
c

b2x0a2y0


b2x0y0x0ca2
y0

a2a2
y02b2x02b2cx0b2x0y0a2cy0
∵Px0y0在椭圆C
x2a2

y2b2
1上
∴ta
b2
cy0
同理，PF2到l所成的角
满足ta

kk21kk2

b2cy0
∴ta
ta

而0
2
∴
证法三：如图，作点F3，使r