圆锥曲线难题汇编
我经过反思与整理，写成此文。一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；见图11
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；见图12．
双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图13）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物
1
f线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
BD

A
F2




F2
O
F1
F1
要探究圆图锥11曲线的光学性质，首图先1必2须将这样一个光学图实13际问题，转
化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明
2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿
着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M此时直线l称为曲线c在点M
处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。
此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：
22圆锥曲线光学性质的证明
预备定理
x21若点Px0y0是椭圆a2

y2b2
1上任一点，则椭圆过该点的切
线方程为：
x0xa2

y0yb2
1。
y2证明：由b2

1
x2a2

y2

b2
1

x2a2

……①
1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且kyxx0
2b2∴对①式求导：2yya2x0
2
f∴k

yxx0

b2x0a2y0
∴切线方程为
y

y0


b2x0a2y0
x

x0
…………②
∵点Pr