天津市武清区大良中学：王志金
正余弦函数的奇偶性、对称性的深层次理解
知识理解：1、函数yfx是一个奇函数（这是自然语言的表达形式）fxfx（这
是符号语言的表达形式）yfx图象关于原点对称（这是图形语言的表达形式）。
2、函数yfx是一个偶函数（这是自然语言的表达形式）fxfx（这是符号语言
的表达形式）yfx图象关于y轴对称（这是图形语言的表达形式）。
3、正弦函数ysi
x是一个奇函数，所以原点是它的一个对称中心。但由于正弦函数是周期函
数，所以，它还有其它的对称中心。ysi
x的对称中心ysi
x＝0的点角x的终边
在x轴上k0kZ
4、正弦函数ysi
x的图象向左平移个单位则得到余弦函数ycosx的图象，反之，余弦2
函数ycosx的图象向右平移个单位则得到正弦函数ysi
x的图象。正余弦函数可以通过2
初相的适当取值相互转换。
例题分析：（03全国文）函数ysi
x0是R上的偶函数，则（
）
A0

B
4

C
2
分析：本题可从四个不同角度加以解决
D
1．通过直觉联想，ycosx是偶函数，只要取合适的值，能使函数ysi
x变成
ycosx即可，由答案易知：。2
反思：本题如果思考仅止于此，就会丧失做这个题目本来应得的更多、更宝贵的东西。特别是选择题的训练，如果仅满足于用一些特殊的方法和特殊的技巧，很巧妙地得到了答案，这样的“小聪明”会使我们难以真正进入数学的殿堂，理解数学的本质。所以，在解决数学题时，我们要学会变换不同的角度来观察它，对题目进行全方位的探索。
2．用偶函数的定义：si
xsi
xsi
xcos0对xR恒成立，所以，
cos0，kkZ，0，。
2
2
反思：用偶函数的定义求解，这才是本题的通法。本题的一般形式是：已知函数ysi
x
f天津市武清区大良中学：王志金
是R上的偶函数，则＿＿＿＿＿。显然，这是一个常规题目。加了点限制，改造成选择题，
使本题变得灵活。
3．从对称轴考虑：求函数ysi
x的对称轴，xk，kZ，已知x0是一2
条对称轴，所以k0
2
2
反思：偶函数的对称轴是y轴，由已知，函数ysi
x有无数多条对称轴中必有一条是y
轴，所以，本题可用对称轴来解决。
4．用数形结合，运动变化观点：ysi
x左移个单位ysi
x，偶函数，对称轴为y轴。
如图：
察图象易得：2
反思：数学中的每一个问题都有不同的表现形式，有数的，有形的；有等的，有不等的；有自
然语言的，有符号语言的，还有图形语言的……，数学内容的r