自相关函数与偏自相关函数
上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
1、自相关函数定义
在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程xt中的
每一个元素xt，t12…都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表
示，即
Ext，t12
随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量
Var

xt



2x
，
t

1
2

2x
用来度量随机过程取值对其均值

的离散程度。
相隔k期的两个随机变量xt与xtk的协方差即滞后k期的自协方差，定义为：
kCovxtxtkExtxtk
自协方差序列：k，k012
称为随机过程xt的自协方差函数。当k0
时，0

Var

xt



2x
。
自相关系数定义：k
CovxtxtkVarxtVarxtk
因为对于一个平稳过程有：Var
xt


Var
xtk



2x
所以k
Covxtxtk

2x
k

2x
k0
，当
k0
时，有0
1。
以滞后期k为变量的自相关系数列k（k012）称为自相关函数。因为kk，
即CovxtkxtCovxtxtk，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关
函数的正半部分即可。
5
f2、自回归过程的自相关函数（1）平稳AR1过程的自相关函数
AR1过程：xt1xt1ut，1。
已知Ext0（why）。用xtk同乘上式两侧
xtxtk1xt1xtkutxtk
上式两侧同取期望：k1k1
其中Eutxtk0（why）（由于xtut1ut112ut2…，所以xtkutk1utk112utk2…，而ut是白噪音与其tk期及以前各项都不相关）。
两侧同除0得：k1k112k21k0
因为o1，所以有k1k（k0）
对于平稳序列有。所以当1为正时，自相关函数按指数衰减至零；当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见下图。因为对于经济时间序列，1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。
8
6
4
2
0
2
2
4
6
8101214
4
0
4
8
2
4
6
8101214
10
10
图AR1过程的自相关函数
同理，对于和情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下图。
5
f4
3
2
1
01
2
3
4
2
4
6
8
10
12
14
15100500051015
2
4
6
8
10
12
14
11（强非平稳过程）
1（随机游走过程）
（2）ARp过程的自相关函数
用xtkk同乘平稳的p阶自回归过程xt1xt12xt2pxtput
的两侧，得：xtkxt1xtkxt12xtkxt2pxtkxtpxtkr