高一数学均值不等式教人实验版（B）
【本讲教育信息】
一、教学内容：均值不等式二、学习目标1掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会简单运用；2利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”三、知识要点
ab叫做这两个正数的算术平均数。22、几何平均数：如果abR，那么ab叫做这两个正数的几何平均数。
1、算术平均数：如果abR，那么3、定理：如果abR，那么ab2ab（当且仅当ab时取“”号）
22
4、均值定理：如果abR，那么5、基本不等式：若abR，则
abab（当且仅当ab时取“”号）2
a2b2ab2ab1122ab
当且仅当ab时取“”号
【典型例题】
例1、若ab1P
lgalgbQ
1lgalgbRlgab，试比较P，Q，R的22
大小。解：ab1lgalgb0
1lgalgblgalgb，2即QPabab1ablglgablgalgb，又222RQ即RQP
例2、已知abR且ab1求证：

11119ab
b2aab42baa14419b
证一：11abab11211abab证二：因为abR且ab1，所以ab2ab，
用心

爱心
专心
f
1ab
2
2ab4ab411a1b1abab111111189abababababab
例3、已知a，b为实常数，求函数yxaxb的最小值。
22
解：yxaxb2x22abxa2b2
22
2
x
abxabx2222另解：yxaxbxabx222
2
abababab时ymi
2a2b22ab2222
2
2
2
abab当且仅当xabx，即x时，ymi
22
例4、（1）设0x
4，求yx43x的最大值。351（2）已知x，求函数y4x2的最大值。44x54解：（1）∵0x3∴43x0113x43x24∴yx43x3x43x3323当3x43x24即x时，ymax335（2）x54x0411r