及学生的运算能力
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
x2y21ab0………1分a2b2
离心率为
3c3232122所以ca可得ba2a244
411a2b2
由经过点M21
22
解得a8b2…………………………3分
∴椭圆方程为
x2y21……………………………4分82
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
8
f又KOM
12
∴l的方程为：y
1xm……………………………………………………5分2
1y2xm由2∴x22mx2m240……………………………………6分2xy182
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴2m242m240解得2m2且m≠08分
（III）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k20即可…………9分设Ax1y1Bx2y2则k1
y11y1k22x12x22
由x22mx2m240可得
x1x22mx1x22m24……………………………………………………10分
而k1k2
y11y21y11x22y21x12x12x22x12x22
11x1m1x22x2m1x1222x12x22x1x2m2x1x24m1x12x222m24m22m4m1x12x22
2m242m24m4m4013分x12x22∴k1k20
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形……………………14分20本小题主要考查利用导数求函数的单调区间恒成立问题考查分类讨论的思想方法解If′x3mx26m1x
因为x1是函数fx的一个极值点所以
f′10

即
3m6m1
0
，
所
以

3m6…………………………4分
9
f（
II
）
由
（
I
）
知
，
2f′x3mx26m1x3m63mx1x1…………5分m
当m0时，有11
2，当x变化时，fx与f′x的变化如下表：m
x
f′x
2∞1m

1
2m
211m

1
1∞

0
0
fx
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
……………………………………7分故有上表知，当m0时，fx在∞1在1

2单调递减，m
21单调递增，在1∞上单调递减………………………………9分m
（III）由已知得f′x3m，即mx22m1x20又m0所以x
2
2222m1x0即x2r