2014年全国高中数学联赛B卷一试
一、填空题（每小题8分，共64分，）
1函数fxx5243x的值域是

2已知函数yacos2x3si
x的最小值为3，则实数a的取值范围是

3数是
4
双曲线x2y21的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个
已知a
是公差不为0的等差数列，b
是等比数列，其中a13b11a2b23a5b3，且存在常
数使得对每一个正整数
都有a
logb
，则

5函数fxa2x3ax2a0a1在区间x11上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值
是

6两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷先投掷人的获
胜概率是

7正三棱柱ABCA1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角BA1PB1则si

8方程xyz2010满足xyz的正整数解（xyz）的个数是

二、解答题（本题满分56分）
9（16分）已知函数fxax3bx2cxda0，当0x1时，fx1，试求a的最大值
10（20分）已知抛物线y26x上的两个动点Ax1y1和Bx2y2，其中x1x2且x1x24线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值
11（20分）证明：方程2x35x20恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列a
，使得2ra1ra2ra35
解答
133提示：易知fx的定义域是58，且fx在58上是增函数，从而可知fx的值域为
33
1
f23a12提示：令si
xt，则原函数化为gtat2a3t，即2gtat3a3t
由at3a3t3，att213t10，t1att130及t10知
att130即
at2t3
（1）
当t01时（1）总成立；
对0t10t2t2；对1t01t2t0从而可知3a12
4
2
39800提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设ykk1299与双曲线右半支于Ak交直线
x100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为
99
99k99494851
k1
又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为24851989800
4333提示：设a
的公差为db
的公比为q，则
3dq
（1）
334dq2，（2）
（1）代入（2）得912dd26d9，求得d6q9
从而有36
1log9
1对一切正整数
都成立，即6
3
1log9对一切正整数
都成立
从而
log963log9，
求得333，333
51提示：令axy则原函数化为gyy23y2gy在3上是递增的
4
2
当0a1r