一、第六章习题详解
61证明（621）和622式
证明：
1
Y
1
Yi
i1
1
i1
aXi
b
1
a
i1
Xi
b
a1
i1
Xi
b
aX
b
2
S
2Y
1
1
Yi
i1
Y2
1
aXi
i1
baX
b2
1
aXi
i1
X2
a2
1
Xi
i1
X2
a
2
S
2X
62设X1X2X
是抽自均值为、方差为2的总体的样本X与S2分别为该样本均值。证明与EXVarX2
证：
EX
E1
X1
X2
X
1
EX1
X
2
X
1
1VarXVar
X1X2
1X
2EX1X2
X
1
2
2
2
63
设X1X2X
是抽自均值为、方差为2的总体的样本S2
1
1
XiX2
i1
证明
1
S2
1
1i1
X
2i
X
2
2ES22
证：1
S2
1
1
Xi
i1
X2
1
1
i1
X
2i
2XXi
X
2
1
1i1
X
2i
2X
i1
Xi
X
2
1
1
i1
X
2i
2X
X
X
2
1
1i1
X
2i
X
2
f2
ES2
1E
1
i1
X
2i
X
2
1
1i1
E
X
2i
EX
2
1
1i1
VarXi
EXi
2
VarX
EX2
1
22
22
1i1
1
222
2
1
1
222
1
64在例623中设每箱装
瓶洗净剂若想要
瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过03毫升的概率近似为95请问
至少应该等于多少？
解：因为PX03PX03203
1
依题意有，203
1095，即03
0975196
于是03
196，解之得
427
所以
应至少等于43
65假设某种类型的电阻器的阻值服从均值200欧姆标准差10欧姆的分布
在一个电子线路中使用了25个这样的电阻1求这25个电阻平均阻值落在199到202欧姆之间的概率2求这25个电阻总阻值不超过5100欧姆的概率
解：由抽样分布定理，知X近似服从标准正态分布N01，因此
1P199X202202200199200
1025
1025
1051105
08413106915053282P
X5100PX5100PX204
25204200209772
1025
f66假设某种设备每天停机时间服从均值4小时、标准差08小时的分布
1求一个月30天中每天平均停机时间在1到5小时之间的概率2求一个月30天中总的停机时间不超过115小时的概率
解：1P1X5515414
0830
0830
685205412P30X115PX115
30115304111410872901271
0830
67设Tt
，证明ET0
23
证：t
分布的概率密度为
f
x
12
2
1
x2
12
t
，
ETxfxdx
12
xr
