．
（1）讨论fx的单调性；
（2）当0a3时，记fx在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值
范围．
21．（12分）
已知曲线C：yx2，D为直线y1上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，
2
2
fB．（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E0，5为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方2
程．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。
22．选修44：坐标系与参数方程（10分）
如图，在极坐标系Ox中，A20，B
2，C4
2
4
，D2

，弧
AB
，BC
，
CD
所在圆的圆心分别是
1
0
，
1
2

，
1

，曲线
M
1
是弧
AB
，曲线
M
2
是弧
BC
，曲
线M3是弧CD．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且OP3，求P的极坐标．
23．选修45：不等式选讲（10分）
设xyzR，且xyz1．（1）求x12y12z12的最小值；（2）若x22y12za21成立，证明：a3或a1．
3
f2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一、选择题1．A2．D3．D
11．A12．C二、填空题
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
9．C
10．B
13．210
14．100
15．315
16．118．8
三、解答题17．解：（1）由已知得0．70a0．200．15，故a0．35．
b10．050．150．700．10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0．153×0．204×0．305×0．206×0．107×0．054．05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0．054×0．105×0．156×0．357×0．208×0．156．00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得si
Asi
ACsi
Bsi
A．2
因为si
A0，所以si
ACsi
B．2
由ABC180，可得si
ACcosB，故cosB2si
BcosB．
2
2
2
22
因为cosB0，故si
B1，因此B60°．
2
22
（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC
3a．4
由正弦定理得acsi
Asi
120C31．
si
C
si
C
2ta
C2
由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°．由（1）知AC120°，所以
30°C90°，故1a2，从而2
38

S△ABC

3．2
因此，
△ABC
面积的取值范围是

38
32

．
19．解：（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，
fG，D四点共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）取CG的中点M，连结EM，DM．因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG．由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC60°得EMr