第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
1写出下列线性规划问题的对偶问题。
mi
z2x12x24x3
x13x24x32
12x1x23x33

x1

4x2

3x3

5
x1x20x3无约束
maxz5x16x23x3
x12x22x352x15x2x33
4x17x23x38x1无约束x20x30
m

mi
z
cijxij
i1j1
3



xij
ai
i1m
j1
m

xij
bj
j1

i1
xij0i1mj1


mi
zcjxjj1

4


aijxj
bi
i1m1m
j1



aijxj
bi
im11m22m
j1
xj0无约束j1
1

2判断下列说法是否正确，为什么
1如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；
2如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；
3在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原
问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；
4任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
3已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单
纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
3
2
2
0
0
0
CB
基
B
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
b
1
1
1
1
0
0
2
x5
15
a
1
2
0
1
0
1
x6
20
2
c
1
0
0
1
cjzj
0
0
2
0
0
0
1
f

0
x4
54
0
0
dl1414
3
x1
254
1
0
e
0
34
i
2
x2
52
0
1
f
0
h
12
cjzj
1
k
g054j
4给出线性规划问题
mi
z2x13x25x36x4
x12x12x2x2
3x3x4x3x4
23
xj0j14
1写出其对偶问题；2用图解法求解对偶问题；3利用2的结果及根据对偶问
题性质写出原问题最优解。
5给出线性规划问题
maxzx12x2x3
x12x2x32

x1

x2

x3
1
2x1x2x32
x10x20x3无约束
1写出其对偶问题；2利用对偶问题性质证明原问题目标函数值z≤1。6已知线性规划问题
maxzx1x2
x1x2x32
2x1x2x31

x1

x2

x3

0
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标函数值无界。7给出线性规划问题
2
fmaxz2x14x2x3x4
2xx12x13xxx322xx64468

x1

x2

x3

9
xj0j14
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X2240，试根据对
偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
8已知线性规划问题A和B如下：
问题A
问题B

maxzcjxjj1
对偶变量



a1jxj
b1
y1
j1


a2jxjb2
y2
j1



j1
a3
j
x
j
b3
y3

x
j

0
j1


maxzcjxjj1
对偶变量



5a1jxj
5b1
y1
j1

1
1

j
1
5
a2
j
x
j

5b2
y2



j
1
a3
j
3a1jxj

b3
3b1
y3

x
j

0
j1

试分别写出yi同yii123间r