高等数学（本科少学时类型）
第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）★）（★
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为无穷大，则f
1
则limfxgx0
Uaδxxaδ
Uaδx0xaδ
【题型示例】已知数列x
，证明limx
a【证明示例】εN语言∴Ngε2．即对ε0，Ngε，当
N时，始终有不等式x
aε成立，∴limx
a
x→∞
x→∞
x为无穷小；反之，若fx为无1穷小，且fx≠0，则fx为无穷大【题型示例】计算：limfxgx（或x→∞）x→x
0
第二节数列的极限○数列极限的证明（★）
1．∵fx≤M∴函数fx在xx0的任一去心邻域Ux0δ内是有界的；2．limgx0即函数gx是x→x0时的无穷小；
x→x0x→∞
1．由x
aε化简得
gε，
（∵fx≤M，∴函数fx在x∈D上有界；）
（limgx0即函数gx是x→∞时的无穷小；）3．由定理可知limfxgx0
x→x0
（limfxgx0）
x→∞
【题型示例】已知函数fx，证明limfxA【证明示例】εδ语言∴δgε
x→x0
第三节函数的极限○x→x0时函数极限的证明（★）
第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则
1．由fxAε化简得0xx0gε，2．即对ε0，δgε，当0xx0δ时，始终有不等式fxAε成立，∴limfxA
x→x0
mm1pxa0xa1x…am设：qxb0x
b1x
1…b

关于多项式px、qx商式的极限运算
○x→∞时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数fx，证明limfxA【证明示例】εX语言∴Xgε
x→∞
1．由fxAε化简得xgε，
2．即对ε0，Xgε，当xX时，始终有不等式fxAε成立，∴limfxA
x→∞
∞pxa0则有limx→∞qxb00fx0gx0fxlim∞x→x0gx00fx（特别地，当limx→x0gx

m
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gx0≠0gx00fx0≠0gx0fx00
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