武汉大学数学与统计学院20092010第一学期《高等数学B1》期末考试试题
一、（42分）试解下列各题：1、计算lim
x0
xarcta
x3ex1
2、求解微分方程y6y9y0的通解。3、计算

11
x211x2si
xdx
4、计算

0
exdx
x5、求曲线y
6、设y
2

t1t1
cosuduu自t1至t一段弧的长度。si
u2duu
1
，求yx3x2
xy二、（8分）已知ue，其中yfx由方程

y0
etdt
2

x20
costdt确定，求du
dx
三、（8分）设x11x
11
x
1x

12，试证明数列x
收敛，并求limx


四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。并说明此结论的几何意义。五、（15分）已知函数y
x34，求：x2
1、函数fx的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。六、（12分）已知函数yyx满足微分方程yy21x，且x轴为曲线yyx的一条切线，在曲线yyx（x0）上某B点处作一切线，使之与曲线、x轴所围平面图形的面积为
1，试求：（1）曲线yyx的方程；（2）切点B的坐标；（3）由上述所围图形绕x轴12
旋转一周所得立体的体积。七、（7分）若fx在ab上连续，且fafb0及fafb0，则fx在ab内至少存在一点，使f0
1
f武汉大学数学与统计学院20092010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案
一、（42分）试解下列各题：
xarcta
xxarcta
x1、解：limlimlimx3x0x0x0x3e1
2
1
11x213x23
2、解：方程的特征方程为：r6r90，其特征根为r1r23，故方程的通解为：yc1c2xe3x3、解：原式2xdx
201
23

4、解：0exdx20tetdt20tdet2tet02etdt20

xt


5、解：s12xt2yt2dt16、解：y
11x1x2

2

cost2si
t2dttt


2
1
1dtl
t2


y
1
1x
1
x2
1

2dy2xcosx2eydx
二、（8分）解：故有
2dudyexyyx，方程两边微分得：eydy2xcosx2dxdxdx
2duexyy2x2cosx2eydx
三、（8分）解：x
0x2x1
10，因此x2x12
设x
r