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三角函数典型例题
1．设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，ca2bsi
AⅠ求B的大小Ⅱ求cosAsi
C的取值范围【解析】Ⅰ由a2bsi
A根据正弦定理得si
A2si
Bsi
A所以si
B12由ABC为锐角三角形得Bπ6
Ⅱ
cos
A

si

C

cos
A

si






A


3
si


A

3


2．在ABC中角A．B．C的对边分别为a、b、c且满足2accosBbcosC．
Ⅰ求角B的大小
Ⅱ设msi
Acos2A
4k1k1且m
的最大值是5求k的值
【解析】I∵2accosBbcosC∴2si
Asi
CcosBsi
BcosC．即2si
AcosBsi
BcosCsi
CcosB
si
BC∵ABCπ∴2si
AcosBsi
A．∵0Aπ∴si
A≠0
∴cosB12
∵0Bπ∴B3
IIm
4ksi
Acos2A．
2si
2A4ksi
A1A∈023
设si
At则t∈01
则m
2t24kt12tk212k2t∈01
∵k1∴t1时m
取最大值
依题意得24k15∴k32
3．在ABC中角ABC所对的边分别为a，b，csi
ABsi
C2
2
2
I试判断△ABC的形状
II若△ABC的周长为16求面积的最大值
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【解析】Isi
Csi
CcosCsi
C2si
C
2
2
2
2
24
C即C所以此三角形为直角三角形
242
2
II16aba2b22ab2abab64222当且仅当ab时取等号
此时面积的最大值为32642
4
．在ABC中a、b、c分别是角A．
B．C的对边C2AcosA
3

4
1求cosCcosB的值
2若BABC27求边AC的长2
【解析】1cosCcos2A2cos2A12911168
2BABC27accosB27ac24①
2
2
又acC2Ac2acosA3a②
si
Asi
C
2
由①②解得a4c6
b5即AC边的长为5
5．已知在ABC中AB且ta
A与ta
B是方程x25x60的两个根
Ⅰ求ta
AB的值Ⅱ若AB5求BC的长【解析】Ⅰ由所给条件方程x25x60的两根ta
A3ta
B2∴ta
ABta
Ata
B231
1ta
Ata
B123Ⅱ∵ABC180∴C180AB
由Ⅰ知ta
Cta
AB1
∵C为三角形的内角∴si
C22
∵ta
A3A为三角形的内角∴si
A310
由正弦定理得ABBCsi
Csi
A
∴BC53352102
6．在ABC中已知内角A．
B．C所对的边分别为a、b、c向量
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m
2si
B
3




cos
2
B
2
cos
2
B2
1且m



I求锐角B的大小
II如果b2求ABC的面积SABC的最大值
【解析】1m
2si
B2r