一元二次方程
知识讲解例题解析强化训练◆知识讲解
1．一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a，b，c是常数，a≠0）2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是
b
x
b24ac（b2－4ac≥0）．
2a
3．二元三项式ax2bxca（x－x1）（x－x2）．其中x1，x2是关于x的方程ax2bxc0
的两个实数根．
4．一元二次方程ax2bxc0（a≠0）的根的判别式△b2－4ac．当△0时，方程有
bb24ac
bb24ac
两个不相等的实数根x1
，x2
；当△0时，方程有两个相
2a
2a
等实数根x1x2－b；当△0时，方程没有实数根．2a
5．若一元二次方程ax2bxc0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1x2－b，x1x2c．
a
a
6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1x2）xx1x20．
7．使用一元二次方程ax2bxc0（a≠0）的根的判别式△b2－4ac解题的前提是二次
项系数a≠0．
8．若x1，x2是关于x的方程ax2bxc0的两根，则ax12bx1c0，ax22bx2c0．反之，若ax12bx1c0，ax22bx2c0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x的一元二次方程ax2bxc0
的两根．
9．一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相
同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的
解（虽然是原方程的解）一定要舍去．
◆例题解析
例1若0是关于x的方程（m－2）x23xm22m－80的解，求实数m的值，并讨论此
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f方程解的情况．
【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，
需要考生具备分类讨论的思维能力．
【解答】由题知：（m－2）×023×0m22m－80，∴m22m－80．
利用求根公式可解得m12，或m2－4．
当m2时，原方程为3x0，此时方程只有一个解，x0．
当m－4时，原方程可化为2x2－x0，解得x10，x21．2
例2已知下列
（
为正整数）个关于x的一元二次方程：
x2－10
（1）
x2x－20（2）
x22x－30（3）
x2（
－1）x－
0（
）
（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（
）；
（2）请你指出这
个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
【分析】由具体到一般进行探究．
【解答】（1）1（x1）（x－1）0，所以x1－1，x21．
2（x2）（x－1）0，所以x1－2，x21．
3（x3）（x－1）0，所以x1－3，x21．

（x
）（x－1）0，所以x1－
，x21．
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根
等r