或16．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4a34aa2＝494a例6求所有有理数r，使得方程为完全平方数，从而94a是完全平方数．令94a
，则
是正奇数，rxr1x＋r10的所有根是整数．分析首先对r0和r≠0进行讨论．r0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r0时，原方程为x10，所以x1．
2222
x1x2x1x2＝6，
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
要使x1为整数，而
为正奇数，只能
1，从而a2．要使x2为整数，即
3｜4，
可取1，5，7，从而a2，4，10．综上所述，a的值为2，4，10．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．消去r得例5已知关于x的方程x1x2x1x2＝2，x＋a6x＋a0
2
数根为x1，x2，且x1≥x2，则
f所以x11x213．2求证：b1≤c≤b＋1；3求b，c的所有可能的值．解1由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
2由1知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤1，x2≤1．由韦达定例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax＋22a1x＋4a30至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为x＋2a2x＋6．显然x＋2≠0，于是
22
理cb1x1x2＋x1＋x2＋1x1＋1x21≥0，所以c≥b1．同理有
所以c≤b1，由于a是正整数，所以a≥1，即所以b1≤c≤b1．3由2可知，b与c的关系有如下三种情况：icb＋1．由韦达定理知所以x2x8≤0，x1x2x1＋x2＋1，x＋4x2≤0，所以x1＋1x2＋12，所以4≤x≤2x≠2．当x4，3，1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，解得x1＋x25，x1x26，所以b5，c6．iicb．由韦达定理知x1x2x1＋x2，所以x11x2＋11，所以x1x22，从而b4，c4．
2
说明从解题过程中知，当a1时，有两个整数根4，2；当a3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8已知方程xbxc0与xcx＋b0各有两个整数根x1，x2
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fiiicb1．由韦达定理知
3．已知关于x的一元二次方程xm17xm20
2
所以
的两个根都是正整数，求整数m的值．
综上所述，共有三组解r