初中数学竞赛专题培训
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第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题
其中a是非负整数至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以
对于一元二次方程ax＋bx＋c0a≠0的实根情况，可以用判别式Δb4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1m是什么整数时，方程m1x63m1x＋72＝0有两个不相等的正整数根．解法1首先，m1≠0，m≠±1．Δ36m3＞0，所以m≠3．用求根公式可得
2222
所以
由于x1，x2是正整数，所以m11，2，3，6，m11，2，3，4，6，12，解得m2．这时x16，x24．解法2首先，m1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令所以m12，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即Δm14m＝
，m＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，其中
是非负整数，于是只有m4，9，25才有可能，即m±2，±3，±5．m6m1
，经检验，只有m2时方程才有两个不同的正整数根．所以m32
28，说明一般来说，可以先把方程的根求出来如果比较容易求的话，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．m3＋
m3
2m3例2已知关于x的方程是偶数，所以m3＋
与m3
同奇偶，所以ax3a8ax＋2a13a＋150
222222222222
所以只要a是3或5的约数即可，即a1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mxm1x＋1＝0
2
m3＋
m3
＝8．由于m3＋
≥m3
，并且
f的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．所以x1＋1x217，例4关于x的方程ax2a3xa20至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a0时，原方程变成6x20，无整数解．所以ax1x20r