一阶线性微分方程
分布图示
★一阶线性微分方程及其解法
★例1
★例2
★例4
★例5
★伯努利方程
★例7
★例9
★例10
★内容小结
★课堂练习
★习题83
★例3★例6★例8
内容要点
一、一阶线性微分方程
形如
dyPxyQx
31
dx
的方程称为一阶线性微分方程其中函数Px、Qx是某一区间I上的连续函数当
Qx0方程31成为
dyPxy0
32
dx
这个方程称为一阶齐次线性方程相应地，方程31称为一阶非齐次线性方程
方程32的通解
yCePxdx
33
其中C为任意常数
求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解33后，将
通解中的常数C变易为待定函数ux，并设一阶非齐次方程通解为
yuxePxdx
一阶非齐次线性方程31的通解为
yQxePxdxdxCePxdx
二、伯努利方程：形如
dyPxyQxy
dx
的方程称为伯努利方程，其中
为常数，且
01
3537
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的事实上，
在方程37两端除以y
，得
fy
dyPxy1
Qxdx
或
1y1
Pxy1
Qx
1

于是，令zy1
，就得到关于变量z的一阶线性方程
dz1
Pxz1
Qxdx
利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程37的通解
y1
e1
PxdxQx1
e1
PxdxdxC


例题选讲
一阶线性微分方程
例1（E01）求方程y1ysi
x的通解
x
x
解Px1Qxsi
x于是所求通解为
x
x
y

e
1x
dx

si
x
x

e
1dx
xdx

C


el
x

si
xel
xdxC1cosxC
x
x
例2（E02）求方程dy2yx152的通解dxx1
解这是一个非齐次线性方程先求对应齐次方程的通解
由dy2y0dy2dxl
y2l
x1l
CyCx12
dxx1
yx1
用常数变易法把C换成u即令yux12则有dyux122ux1dx
代入所给非齐次方程得ux121两端积分得u2x132C3
回代即得所求方程的通解为
y

x
12

23
x
132

C
例3求下列微分方程满足所给初始条件的特解
xl
xdyyl
xdx0
yxe1
解将方程标准化为y1y1于是xl
xx
fy

e
dxxl
x

1x
e
dx
xl
xdx

C


el
l
x
1el
l
xdxC11l
2xC
x
l
x2

由初始条件
y
xe
1
得C

12
故所求特解为
y

12
l

x

1l
x

例4求解方程dyydxdx是x的已知函数
dxdx
dx
解原方程实际上是标准的线性方程，其中PxdQxxd
dx
dx
直接代入通解公式，得通解
y

ddx
edx

x
d
e

ddx
dx
dx

C

ex
xexdCx1Cex
r