dx

例5（E03）求方程y3dx2xy21dy0的通解
解当将y看作x的函数时，方程变为
dydx

y312xy2
这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解如果将x看作y的函数，方程改写为
y3dx2y2x1dy
则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为
y3dx2y2x0dy
分离变量，并积分得
dxx
2dyy
即
x

C1
1y2
其中
C1
为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为
x

u
y
1y2

代入原方程得
积分得uyl
yC
uy1y
故原方程的通解为
x

1y2
l

yC
，其中C为任意常数
例6如图（见系统演示）所示平行于y轴的动直线被曲线yfx与yx3x0
截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积求曲线fx
解
xfxdx
x3y2x3y两边求导得yy3x2解此微分方程得
0
fyedxC3x2edxdxCex3x26x6
由yx00得C6故所求曲线为y32exx22x2
例7求dy4yx2y的通解dxx
解两端除以y得1dy4yx2ydxx
令zy得2dz4zx2解得zx2xC
dxx
2
故所求通解为yx4xC22
伯努利方程
例8（E04）求方程dyyal
xy2的通解dxx
解以y2除方程的两端得
y2dy1y1al
x即dxx
dy11y1al
xdxx
令zy1则上述方程变为dz1zal
xdxx
解此线性微分方程得
z

x
C
a2
l

x2

以y1代z得所求通解为
yx
C

a2
l

x2

1
例9（E05）求方程dyxyxx3yx21的通解dx
解令yxu则dydu1于是得到伯努利方程duxux3u2
dxdx
dx
令zu121上式即变为一阶线性方程dzxzx3
u
dx
其通解为
x2
ze2

x
3e

x22
dx

C

x2
Ce2
x2
2


回代原变量，即得到题设方程的通解
yx1xz
1
x2

Ce2x22
f例10（E06）求解微分方程
dydx

1xsi
2xy

yx

解令zxy则dzyxdy
dx
dx

dzdx

y

x

1xsi
2xy

yx


1si
2
z
利用分离变量法解得2zsi
2z4xC将zxy代回，得所求通解为2xysi
2xy4xC
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