对极限概念的理解
极限概念本身在数学中有着重要的地位。通向微积分的大门首先是极限的学习，甚至可以这么说，整个微积分的概念都是建立在极限概念的基础上的。极限概念如此重要，而这部分恰恰历来是教学的难点。如何理解学生掌握极限概念的认知困难和加深自我对极限概念的理解呢？
一、学生对极限概念理解的困难1自发的概念。由于影响极限理解的因素众多，甚至在做了非常周详的教学设计之后，仍然无法使学生转变那种不正确或者不完善的极限观。因此，关于极限的研究一直受研究者的关注。这些研究结果为评估学生对于此概念的理解建立了一个框架。我们已经得到了一些关于学生自发的对于极限概念的认识模型。在学习极限概念时，总是自发的持潜无穷的观念。极限概念■a■既表示变化趋势的过程，又代表发展变化的结果。极限概念同时具有过程与对象的二重性。在教学中，我们往往一开始很强调极限是一个过程，是当
→0时a■的发展趋势。而在进行极限的四则运算时，我们又把极限看成是一个运算对象。这就需要，学生在学习极限这个概念时，必须同时具有“实无限”和“潜无限”的观念，把潜无限和实无限结合起来，才能完成极限过程。2学生原有认知结构缺乏固着点。认知结构在形式上可以看作是有节点和连线组成的复杂的网络。节点就是结构中的元素或者对象，联线则是元素之间存在的稳定的联系。数列极限包含着以下三个要素：（1）存在一个常数a，（2）无论预先指定多么小的正数ε，总能在数列中找到一项a■，（3）使得a■之后的每一项与a的差的绝对值都小于ε。这种对ε，N之间关系的认识，以及对极限的刻画方式在学生的原有认知结构中都不存在固着点。
f3学生的概念形成水平。从上文的分析中可知，学生的原有认知结构不能支撑学生用已有的知识去进行概念的同化，因此学生在学习极限概念时，更多的是在形成一个概念。数学概念的形成需要的是对物体或事件的直接经验，从这些物体或直接经验中抽象出他们的共同属性。但是“极限”这一词语在日常生活中的含义却干扰了学生的理解。“极限”一词在生活中有许多与数学方法不相符合的含义，如它指最大的限度，意思是不可能或不应该超过。而我们知道，一个序列中的某项既有可能等于这个序列的极限，也有可能大于它。极限概念的本质属性少，学生的概念形成水平与之有较大差距。
4学生的认知发展水平。根据皮亚杰的认知发展阶段理论，高中学生处于形式运演阶段。正在完善形式逻辑思维，并逐渐过r