意的x∈0，＋∞，都有a≥－x2＋2x＝－x－12＋1．因为函数y＝－x－12＋1在区间0，＋∞上的最大值为1，所以a≥1．所以实数a的范围是1，＋∞．2“存在一个x0∈1，e，使fx0＞0成立”等价于“fx在区间1，e上的最大值是正数”．
因为fx＝1＋－＝
＝
，所以
①若a≥1，当x∈1，e时，fx≥0，当且仅当x＝1，a＝1时，fx＝0，
所以fx在区间1，e上单调递增，所以当x＝e时，fx取得最大值fe＝e－－2．
由e－－2＞0，得a＜e2－2e．因为e2－2e＞1，所以1≤a＜e2－2e．
②若a＜1，则由fx＝0，得x＝1±
．
i若1＋
≥e，即a≤－e2＋2e，则
当x∈1，e时，fx≤0，从而fx在区间1，e上单调递减，
所以，当且仅当x＝1时，fx取得最大值f1＝1－a．由1－a＞0，得a＜1，又a≤－e2＋2e，所以a≤－e2＋2e．
ii若1＋
＜e，即a＞－e2＋2e，则
当x∈1，1＋
时，fx＜0；当x∈1＋
e上的最大值是f1或fe．
，e时，fx＞0；从而fx在区间1，
由f1＝1－a＞0，得a＜1；由fe＝e－－2＞0，得a＜e2－2e．所以－e2＋2e＜a＜e2－2e．由iii知，－e2＋2e＜a＜e2－2e．由①②可知，实数a的范围是－∞，e2－2e．
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