232双曲线的几何性质
学习目标
核心素养
1了解双曲线的简单几何性质范围、对称性、
顶点、实轴长和虚轴长等
1通过对双曲线几何性质的学习，培养学生
2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方直观想象素养
程．重点
2借助于几何性的应用，提升学生的逻辑推
3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单理，数学运算素养
问题．难点
1．双曲线的几何性质标准方程
x2y2a2－b2＝1a＞0，b＞0
y2x2a2－b2＝1a＞0，b＞0
图形
性质焦点
－c0，c0
0，－c，0，c
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1－a0，A2a0
A10－a，A20a
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚
性
轴
半轴长：b
质
离心率
e＝ca∈1，＋∞
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？
提示
e＝ca＝
a2＋b2a＝
b21＋a2
1
f思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
提示
有影响，因为e＝ca＝
a2＋b2a＝
b2
b
1＋a2，故当a的值越大，渐近线
y＝bax
的斜率
越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越
大，它的开口就越大．
2．等轴双曲线
实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝2
1．若
0ka，则双曲线a2－x2k2－b2＋y2k2＝1
x2y2与a2－b2＝1
有

A．相同的实轴
B．相同的虚轴
C．相同的焦点
D．相同的渐近线
C∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0
∴c2＝a2－k2＋b2＋k2＝a2＋b2
2．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是A．x2－y42＝1Bx42－y2＝1
C．x2－y22＝1Dx22－y2＝1
A由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－y42＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A
3．已知双曲线C：xa22－yb22＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F250，则双曲线C的方程
为
x2y2
x2y2
A4－3＝1B9－16＝1
x2y2
x2y2
C16－9＝1D3－4＝1
C∵e＝ca＝54，F250，
∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，
∴双曲线
C
x2y2的标准方程为16－9＝1
4．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________．
1717或4
若双曲线焦点在
x
b轴上，依题意得，a＝4，
2
f∴ba22＝16，即c2－a2a2＝16，∴e2＝17，e＝17
若双曲线焦点在y轴上，依题意得，ab＝4
b1b21
c2－a21
∴a＝4，a2＝16，即a2＝16
∴e2＝1176，故e＝
174，
17即双曲线的离心率是17或4
已知双曲线的标准方程求其简单几何性质【例1】求双曲线
x2－my2＝m
m0，
0的实半r