pq且
，
令m函数h（xg（ｘmx0）fm）由Ⅱ知当m∈１x0）时当m∈（ｘ0，２时，通过h（x的零点．转化推出｜
x０
≥
＝
推出2ｐ4＋
３p3q3p2ｑ26pｑ3＋ａq4｜≥1然后推出结果【解】（Ⅰ由ｆx２x43x33x2６ｘ＋a，得gx）＝f′x）＝8ｘ３9x26x6，进而可得g′x24x218x６令g′x＝０解得x1，或x
当x变化时g′（x）gx的变化情况如下表：
x
∞1
1，
（∞）
ｇ′x）



g（ｘ



所以ｇx）的单调递增区间是（∞1，∞，
单调递减区间是（1）
Ⅱ证明：由hx＝gx（mｘ0f（m得ｈ（m）g（mmx０ｆ（ｍ），所以h（ｘ0）gx0）（mx0fｍ
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f令函数H１（x）ｇｘ）（ｘx０f（x则H′１x）g′（x（xx０．
由（Ⅰ知当x∈12时，g′x）＞0，
故当x∈1x0时H′1（x）＜0，H1（x）单调递减
当ｘ∈x0，2］时H′1x＞０Ｈ1x单调递增
因此，当x∈［1，x０∪（x0，2时Ｈ1（ｘ＞H1（x0）f（x0）0，
可得H1ｍ０即hm）＞0
令函数H２x）gx０xx0f（x，则H′２ｘ）＝g′x0gx．由Ⅰ知g（x在［１，
2上单调递增，故当ｘ∈１，ｘ0）时H′2x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈x０，
2时H′2x０H2（x单调递减因此，当x∈［1ｘ0∪x02时，H2x＞H2（x0）
0，可得得H２（ｍ０即h（ｘ0０
所以ｈ（mhｘ00．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且
，
令m，函数hxｇ（ｘ）ｍx０fm．
由（Ⅱ知，当ｍ∈［1ｘ0时hｘ）在区间m，x0内有零点当m∈x０２时，hx在区间x0ｍ）内有零点．所以h（x）在１２）内至少有一个零点不妨设为x1，则ｈx1＝gx１（x0）f０
由（Ⅰ）知g（ｘ）在［12］上单调递增故0＜g（1gx1）ｇ2
于是x0
≥

．
因为当x∈1，2时gx）0，故ｆx）在［１，２］上单调递增所以fx在区间［1２上除x0外没有其他的零点而≠ｘ0，故f≠0．
又因为pq，a均为整数所以2p４＋3p３q3ｐ２q26pq３aq4｜是正整数，从而｜2p４＋３p3q3p２q26pｑ3ａq4｜≥1
所以｜x0｜≥
．所以，只要取Ag2）就有x0｜≥
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．
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