12s。证明：1因为A和AT的秩为
总有可逆的－矩阵PQ使得
PATQdiagd1d2d
D，其中D为对角形矩阵。我们
有
PATQE初等变换DP
3
因为
PATQD
所以
QTAPTDTD
于是有QTiAiPTidiagd1id2id
i，设Di中有mi个零行，
对应着mi个对角元素di1idi2idimii0，1mi
选取Pi中
的列向量Pi1Pi2Pimi，则有QiiEAPi1Pi2Pimi0
因为Qi可逆，所以iEAPi1Pi2Pimi0
4
又因为Pi可逆，所以由4知Pi1Pi2Pimi是A属于i的mi个线性无关的特
征向量由3知，Di中
mi个非零行是行满秩的故A属于i的线性无关的特
征向量即为Di中零行所对应的Pi中的行向量。
2
A
可对角化

ri
E

A




ri
又由1
证明知：ri
E

A

rDi





mi
故A可对角化
ri
mi，即mirii12s，证毕。由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下：
5
f1作ATE行初等变换BQ初等变换DP
其中Ddiagd1d2d
则A的特征根恰为d1d2d
0的根；
2若A的特征根全在P内，且每个i有Di中零行数目等于i的重数，则A可以化为对角形方阵，否则A不可以化为对角形方阵；
3对于每个特征根i，在Pi中取出与Di中零行对应的行向量
Pi1Pi2Pim得A属于i的特征向量且都是线性无关的。
32举例说明
例2：
0111A111
011
1002B211
001
问方阵A和B是否可以化为对角形，若可以，试求出其对角化后的方阵。
解：1
ATE
1
11
01
100010
111001
111001
第一行与第三行互换

1
1
1
010
10100
111001
1乘以第一行再加到第二行上

0
2

011
10100
乘以第一行再加到第三行上

10
12
1
001011
01210
11
（1）乘以第三行再加到第二行上

0
1
12
001111
01210
（1）乘以第二行再加到第三行上
6
f1101
12
0012
012
0
1

1
1
121
2乘以第二列再加到第三列上
11210
0
1
01
0
11
1

0
0
122121
21乘以第一列再加到第三列上
11
0
01
0
0012
012
0
1

1
1
121
10
0
第二行加到第一行上

0
1
0
0012
112
1

1
1
121
DP
由题意知12010，21二重，因为D2中零行数目等于12
的重数，故A不可以化为对角形方阵。
120100
2


ATE010010
01r