种形式
2
f2再看G的第一列，假设不全为零（若全为零，则rA
）选择的幂
最低的元素，记作f1对G施行行变换，使该列全部元素的幂都少于f1选
择幂最小的元素，记作f2如此施行一系列行变换，一直循环下去，G最终可
化为

d
20

H

接着再对H施行上述变换，最后可将A化成
d1

B



d2

0
d

由此可知：A和B等价，可知结论成立，证毕。
引理3：对于数域P上的
阶方阵A，若A的特征多项式在P内有
个单根，则
1

由特征向量构成的


阶可逆矩阵T
，使得T
1AT


2




定理1：若数域P上的
阶方阵A的特征多项式f在P内有
个单根，则A可
通过如下方法对角化：
设ATEAT且ATE
行初等变换BQ
1B为上三角形矩阵，则有方阵A的特征根i即为B中主对角线上各个元素乘积的解；
2对于方阵A的每一个特征根i，总有Bi中零行向量所对应的Qi中的行
向量i与之对应。
证明：由上述引理可知此定理结论成立。
22举例说明
例1：设
A


21
13
01

，问方阵
A
是否可以化为对角形，若可以，求出其对角化
012
3
f后的方阵。
210100


解：ATE131010
012001
131010
第一行与第二行互换


2
1
0100
012001
13
1010
2乘以第一行再加到第二行上

0
255
2
1
2
0
0
1
2001
第二行与第三行互换

10
31
10102001
02552120
255乘以第二行再加到第三行上
1301
12
0100
01


B
Q
0012412255
由题意知1240112234此时方阵A有3个特征
单根，故方阵A可以化为对角形
将11代入B和Q中知B的第三行为零，由定理1知Q的第三行向
量111即为属于1的特征向量，同理可知101121分别为属于2和3的特征
向量。
于是可得T

11
10
12
使得T
1AT

1
2

111

4
3、讨论对于有特征重根的
阶方阵
对于有特征重根的方阵，可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵，接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵，这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形。
4
f31基本定理
定理2：设ATEAT则ATE初等变换DP且D为对角形
矩阵，则有1对于A的每个特征根i，Pi中与Di的零行对应的行向量即为属于i的
特征向量；2设12s为A的所有不同的特征根，重数分别为r1r2rs则A可以化成
对角形Di中的零行数目等于i的重数riir