矩阵对角化方法
姓名：唐巧文学号：200725020431指导老师：刘俊同
摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。关键词：矩阵特征根特征向量对角化
TheMethodsoftheDiago
alizatio
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NameTa
gQiaowe
Stude
tNumber200725020431AdvisorLiuJu
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AbstractI
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alizatio
ofthematrixKeywordsMatrixCharacteristicrootsCharacteristicvectorsDiago
alizatio
1、引言
对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解EA0得特征根i，然后对每一个i，解方程组iEAX0得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T，使得T1AT其中为对角阵，于是可得ATT1，从而A
T
T1在这个对角化过程中，中的元素即为矩阵A的特征根，T中每个列向量即为矩阵A的属于每个特征根的特征向量。本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵对角化方法，即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。
2、讨论对于有
个特征单根的
阶方阵
1
f21基本原理引理1：设A是秩为r的m
阶矩阵，且
ATE

行初等变换

0
Drm
rm
P
r


其中D是秩为r的行满秩矩阵，则齐次线性方程组AX0的一个基础解系即为矩阵
P所含的
r个行向量ii12
r。
证明：对矩阵ATE
左乘一个
阶可逆矩阵C得
CAT


Drm0
rm

1

CE
P
r

2
将2代入1得，

P
r



E

AT


Drm0
rm

即有P
r
AT0
rm两边同时取转置得APT0，则P的行向量是方程组AX0的解，证毕。
引理2：矩阵A的特征矩阵A经过一系列行初等变换可化为上三角形的－矩
阵B且B的主对角线上元素乘积的多项式的解为矩阵A的全部特征根。
证明：
a11
A


a21
a12
a22

a1
a2

a
1
a
2
a

显然rA

1先看A的第一列，假设ai1i23
不全为零，任取其中一个，记为
d1，经过行初等变换，A可化为：

d10

G
若ai10i23
则A本身即具有这r