函数的单调性与最值
一、知识梳理
1．增函数、减函数一般地，设函数fx的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2∈D，且x1x2，则有：1fx在区间D上是增函数fx1fx2；
2fx在区间D上是减函数fx1fx2．2．单调区间的定义若函数y＝fx在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝fx在这一区间上具有严
格的单调性，区间D叫做y＝fx的单调区间．
3．函数的最值
前提
…
设函数y＝fx的定义域为I，如果存在实数M满足
条件结论
①对于任意x∈I，都有fx≤M；②存在x0∈I，使得fx0＝M
M为最大值
①对于任意x∈I，都有fx≥M；②存在x0∈I，使得fx0＝M
M为最小值
注意：
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集
符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数fx，gx在x∈a，b上都是增减函数，则fx＋gx也为增减函数，
但
fxgx，1等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
fx
试一试
1．下列函数中，在区间0，＋∞上为增函数的是
A．y＝l
x＋2
B．y＝－x＋1
C．
y


12

x
D．y＝x＋1x
解析：选A选项A的函数y＝l
x＋2的增区间为－2，＋∞，所以在0，＋∞上
一定是增函数．2．函数fx＝x2－2xx∈－24的单调增区间为______；fxmax＝________
f解析：函数fx的对称轴x＝1，单调增区间为14，fxmax＝f－2＝f4＝8答案：148

二、方法归纳
1．判断函数单调性的四种方法
1定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；
3图像法：如果fx是以图像形式给出的，或者fx的图像易作出，可由图像的直观
性
判断函数单调性．
4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
2．求函数最值的五个常用方法
1单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
2图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
3换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
4基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不
等式求出最值．
5导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
练一练
1．下列函数中，既是偶函数又在区间0，＋∞上单调递减的是
A．y＝1xr