一．常用公式
1
1．
kk1

1k2

1kk1
用放缩法证明不等式的方法与技巧
2．
2
1
2
kk1kkk1
3．2kk2k4
4．123k2kk2
5．
k1！
12（k
11！
1k！（待学）
6．abab（待学）
二．放缩技巧
所谓放缩的技巧：即欲证AB，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使ACB，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”
常用的放缩技巧
（1）若t0ataata
（2）
1
，2

1，
11
1，
1
2

（3）
1


1
1

1
1

1
2

1
1

1
1
1


1
（4）2
1

2
21
2
2
1

1


1
（5）若abmR，则aaaambbmbb
（6）1
12
13
1

1
12

122

12
1
（7）1
122

132

1
2
11
1122

11
3

1
1（因为

1
2

1
1

）
（7）1111111
1

1
2
3
2
1
1

1
1
或1111111
1

1
2
3
2
2
2

2
2
2
（8）1111111
等等。
23





三．常见题型（一）．先求和再放缩
111
1
1．设
S


2

6
12


1，求证：S
1
2．设b


1

（
N
），数列b
b
2的前

项和为T

，求证：T


34
1
f（二）．先放缩再求和
3．证明不等式：111112123

1
123
2

4．设
S

1
122

132


1
2

（1）求证：当
2时，
1S
2；
（2）试探究：当



2
时，是否有


6
12

1

S


53
？说明理由
5．设b


12

34

56

（1）b

12
1
2
1，求证：2
（2）b1b2b3
b
2
11
6．设a



，b


a

22a
1
2
1
求证（1）

a
a
1
1
（2）b1b2b3

b



1
N
2
f7．
设b


12，a



1，
求证
1a1b1

a2
1b2
…
a

1b

512
8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有
7个蜂巢，第三个图有19个
蜂巢，按此规律，以f
表示第
个图的蜂巢总数
（1）试给出
（2）证明：111f1f2f3
14f
3
f4f5的值，并求f
的表达式（不要求证明）；
9．（10广州）设S
为数列a
的前
项和，对任意的
N，都有S
m1ma
m为常数，且m0．
（1）求证：数列a
是等比数列；
（2）设数列a
的公比qfm，数列b
满足b12a1b
fb
1
2，
N，求数列b
的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列
b
2
的前


项和T


8918
．
3
f10．（010深圳）在单调递增数列a
中，a11，a22，且a2
1a2
a2
1成等差数列，a2
a2
1a2
2成等比r