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初中数学专项训练:实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1,用长为18米的篱笆(虚线部分)和两面墙围成矩形苗圃。1设矩形的一边长为x(米),面积为y(平方米),求y关于x的函数关系式;2当x为何值时,所围成的苗圃面积最大?最大面积是多少?分析:关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。解:(1)设矩形的长为x(米),则宽为(18x)(米),
根据题意,得:yx18xx218x;
又∵
x>018x>0
0<x<18
(2)∵yx18xx218x中,a1<0,∴y有最大值,
即当x
b2a
1821
9时,ymax
4acb24a
018241
81
故当x9米时,苗圃的面积最大,最大面积为81平方米。
点评:在回扣问题实际时,一定注意不要遗漏了单位。
2、只围三边的矩形的面积最值
例2、如图2,用长为50米的篱笆围成一个养鸡场,养鸡场的一面靠墙。问如何围,才能使养
鸡场的面积最大?
分析:关键是明确问题中的变量是哪两个,并能准确布列出函数关系式
解:设养鸡场的长为x(米),面积为y(平方米),则宽为(50x)(米),2
根据题意,得:yx50x1x225x;
2
2
x>0
又∵
502
x
>0
0<x<50
∵yx50x1x225x中,a1<0,∴y有最大值,
2
2
2
即当xb2a
2
25
1
25时,ymax
4acb24a
025241
6252
2
2
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故当x25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为625平方米。2
点评:如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化?请读者自己完成。
3、围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.1要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
2两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
(1)解:设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20x)cm
由题意得:
x24
204
x2
17解得:x1
16x2
4
当x116时,20x4;当x24时,20x16
答:这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
(2)不能。理由是:设第一个正方形的边长为xcm,则第二个正方形的边长为204x5xcm,4
围成两个正方形的面r