：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性
1、定义：设fx的定义域为D，若对xD，存在一个非零常数T，有fxTfx，
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f第二章
第5炼函数的对称性与周期性
函数及其性质
则称函数fx是一个周期函数，称T为fx的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等
3、若fx是一个周期函数，则fxTfx，那么fx2TfxTfx，
即2T也是fx的一个周期，进而可得：kTkZ也是fx的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，kTkZ也是fx的一个周期，所以在某些周期函
数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小
正周期，比如常值函数fxC
5、函数周期性的判定：
（1）fxafxb：可得fx为周期函数，其周期Tba
（2）fxafxfx的周期T2a
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：fx2afxa
所以有：fx2afxafxfx，即周期T2a
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）
f
xa
f
1
x


f
x的周期T
2a
分析：
f
x2a
f
1
xa

11
fx
fx
（4）fxfxak（k为常数）fx的周期T2a
分析：fxfxakfxafx2ak，两式相减可得：fx2afx
（5）fxfxak（k为常数）fx的周期T2a
（6）双对称出周期：若一个函数fx存在两个对称关系，则fx是一个周期函数，具体
情况如下：（假设ba）
①若fx的图像关于xaxb轴对称，则fx是周期函数，周期T2ba
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f第二章
第5炼函数的对称性与周期性
函数及其性质
分析：fx关于xa轴对称fxf2axfx关于xb轴对称fxf2bx
f2axf2bxfx的周期为T2b2a2ba②若fx的图像关于a0b0中心对称，则fx是周期函数，周期T2ba③若fx的图像关于xa轴对r