中国剩余定理
中国剩余定理缘起自求解一次同余式问题。《孙子算经》中有“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”用现代数学符号表示，这相当于求解一次同余式组
N2mod3

N

3mod
5

N

2mod
7
的最小正整数解。
《孙子算经》中给出了此题的解法及答案。对于更一般的情况，南宋数学家秦九韶在他
的划时代巨著《数学九章》中提出了“大衍总数术”，明确、系统地叙述了求解一次同余式
组的一般方法。在西方，经过欧拉、拉格朗日、高斯三代人、前后六十多年努力，才完成了
一次同余式理论的建立，得到了与秦九韶一致的算法，并给出了严格的证明。后人称之为“中
国剩余定理”。
中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学发展做出的巨大贡献，它其中蕴含的深刻的
数学思想在近代数学中占有同样重要的地位。
在抽象代数的理论中，整数集与一元多项式集都属于主理想整环，有着许多相似的性质。
关于整数的中国剩余定理可以自然地推广到一元多项式环上，得到如下结果：
设m1xm2xm
x是
个两两互素的多项式，a1xa2xa
x是任
意
个多项式，则一定存在多项式fx满足：

ff
xx

a1a2

xx


modmod
m1m2
xx


f

x

a


xmod
m


x
并且在modmxmxm1xm2xm
x意义下是唯一的。也就是说，次数小于
mx的fx是唯一确定的。
特别地，当mix均为一次多项式时，上面的结果即等价于插值多项式的存在与唯一性
定理，从而可得出著名的拉格朗日插值多项式。
不仅仅是主理想环，在更一般的含单位元1的交换环上，我们也有类似结论。此外，中
国剩余定理在赋值论中也起着不可或缺的作用，而赋值论是研究代数数论和交换代数的重要工具。
中国剩余定理不仅有着光辉的历史意义，它直到现在仍然是一个非常重要的定理，影响着数学前沿的进展。
德国数学家希尔伯特在1900年巴黎国际数学会议上曾提出了23个数学问题，其中第十个问题是：对于任意多个未知数的整系数不定方程，能否给出一个可行的算法，在有限次运
f算之后，可以判定该方程是否有整数解？1970年，年青的苏联数学家马季亚谢维奇给出了否定的答案，轰动了数学界。他的证明过程中的关键之处就用到了中国剩余定理。
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