2017年全国高中数学联赛
山东赛区预赛试题详解
（一）填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）
2017年9月2日
（1）已知复数z1z2满足
z1z2
20
z12z22
16，则
z13z23
的最小值是
．
________________________
解析：由已知得：z13z23z1z2z12z22z1z210z1z223z12z22
10z1z223z12z2210z1z223z12z223520，
当且仅当z1z220z12z2216，即z1210223i时等号成立，
故z13z23的最小值是3520．
（2）已知集合M1991025369119211，记集合M的所有非空子集为Mi，
1023
i12
1023，每一个
Mi
中所有元素之积为mi
，则
i1
mi

．
_______________________________________________
2
1


1023
解析：由于Maii12
时，miai11，故mi1．
i1
i1
i1
（3）在棱长为1的正方体C内，作一个内切大球O1，再作一个小球O2，使它与球O1外
切，且与正方体的三个面相切，则球O2的表面积为_______________________________________________．
解析：作对角截面图得到矩形BB1D1D，依题意知O1、O2都在线段BD1上，且O1是BD1的中点，设球O1、O2的半径分别为r1r2，
则
r1

12
，O1D1

3，2
由O1D1r1

O2D1r2
得：O2D1

3r2，
∴O1D1
3r2r2r1
3，2
D1O2EO1
D
B1
FB
∴
r2

2
2
3，∴S2
74
3．
f（4）设
abc是一个三位数，其中以abc为边可构成一个等腰三角形，
则这样的三位数有
个．
_______________________________________________
解析：当abc时，有9种情形；
不是等边的等腰三角形情形，不妨设ab，
当ab5时，c有8种情形，共有40种情形；
当ab4时，c有6种情形；
当ab3时，c有4种情形；
当ab2时，c有2种情形；
综上，共有4064239165种情形．
（5）已知非负实数abc满足abc8abbcca16，
若mmi
abbcca，则m的最大值是
．
_______________________________________________
解析：不妨设abc，则abcabcmab，3cabc8c8，3
又ab2ab24ab8c2416bcca0，
即8c2416c8cc163c0，故8c16，
3
3
∴ab16cabc16c8cc4216，
9
当且仅当ab4c16时等号成立，33
因此m的最大值是16．9
（6）已知三次多项式
px

ax3

bx2

cx

d
满足
p

12


p


12


1000p
0
，
设
x1x2x3
是方程
px

0的
3
个根，则
1x1x2

1x2x3

1x1x3

．
_______________________________________________
解析：由已知得：1b2d1000db1996，
2
d
由根与系数的关系可得：
x1

x2

x3


ba

x1x2x3


da
，
∴111x1x2x3b1996．
x1x2x2x3x1x3
x1x2x3
d
f（7）函数r