：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再
证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；
（2）只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题．
试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下：
∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC
∵∠D90°，∴∠OCE∠D90°，即OC⊥DE，
∴直线CE与半圆O相切．
（2）由（1）可知：∠COF60°，OCOF，
∴△OCF是等边三角形，
∴∠AOC120°
∴
AC
的长为
120180

6
4π
4．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若已知AE9，CF4，求DE长；（3）在（2）的条件下，若∠BAC60°，求ta
∠AFE的值及GD长．
【答案】（1）证明见解析（2）DE6（3）183675
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1∠2，得到DEDF，根据垂径定
理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；
（2）连接DE，由DEDF，得到DEDF，根据平行线的性质得到∠3∠4，等量代换得
到∠1∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；
f（3）过F作FH⊥BC于H，由已知条件得到∠1∠2∠3∠430°，解直角三角形得到
FH1DF1×63，DH322
3，CH
CF2HF2
7，根据三角函数的定义得到
ta
∠AFEta
∠CHF37；根据相似三角形到现在即可得到结论．CH7
试题解析：（1）连接OD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1∠2，
∴DEDF，
∴OD⊥EF，∵EF∥BC，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，
∵DEDF，
∴DEDF，∵EF∥BC，∴∠3∠4，∵∠1∠3，∴∠1∠4，∵∠DFC∠AED，∴△AED∽△DFC，
∴AEDE，即9DE，DFCFDE4
∴DE236，∴DE6；（3）过F作FH⊥BC于H，∵∠BAC60°，∴∠1∠2∠3∠430°，
∴FH1DF163，DH33，22
∴CHCF2HF27，
∵EF∥BC，∴∠C∠AFE，
∴ta
∠AFEta
∠CHF37；CH7
∵∠4∠2．∠C∠C，∴△ADC∽△DFC，
f∴ADCD，DFCF
∵∠5∠5，∠3∠2，∴△ADF∽△FDG，
∴ADDF，DFDG
∴CDDF，即3376，
CFDG
4
DG
∴DG18367．5
点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键
5．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上不与点A、B重合的任一点，点C、D为⊙O上
的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
1若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
2若
CD
r