一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）如图①，求证：四边形ABCD为菱形；（2）如图②，若BC的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）π2
【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；（2）先判断出ADDC且DE⊥AC，∠ADE∠CDE，进而得出∠CDA30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AEEC，BEED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED90°，即有AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴ADDC且DE⊥AC，∠ADE∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，
∴OF⊥AD，且OF1AD3，易知，四边形CGOF为矩形，∴CGOF3．2
在Rt△CDG中，CDAD6，si
∠ADCCG1，∴∠CDA30°，∴∠ADE15°．CD2
连接OE，则∠AOE2×∠ADE30°，∴AE303．1802
点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
2．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∠AEO∠C，OE交BC于点F（1）求证：OE∥BD；
f（2）当⊙O的半径为5，si
DBA2时，求EF的长5
【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为212
【解析】
试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可
试题解析：（1）连接OB，∵CD为⊙O的直径，CBDCBOOBD90
∵AE是⊙O的切线，ABOABDOBD90ABDCBO
∵OB、OC是⊙O的半径，OBOC∴CCBO∴CABD
∵EC，∴EABD∴OE∥BD
（2）由（1）可得si
∠C∠DBA2，在Rt△OBE中si
∠CBD2OC5，
5
CD5
BD4∴CBDEBO90
∵EC，△CBD∽△EBO
∴BDCDBOEO
∴
EO

25

2
∵OE∥BD，COOD，
∴CFFB
∴OF1BD22
∴EFOEOF212
3．如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若半圆O的半径为6，求AC的长．
f【答案】（1）直线CE与半圆O相切（2）4
【解析】
试题分析：（1）结论r