专题7三角恒等变换与解三角形
回顾2008～2012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的
预测在2013年的高考题中：1填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一2在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的
重点
1．2012南京名校
4
si
月阶段性考试若si

α＋cosα－cos
αα＝3，ta
α－β＝2，则
ta
β－2α＝
________
ta
解析：由题意得ta

α＋1α－1＝3所以ta

α＝2
又ta
α－β＝2，所以ta
β－α＝－2
所以β－2α＝ta
β－α－α＝1t＋a
ta
β－βα－α－ttaa
αα＝43
答案：43
1＋cos20°22si
20°－si

10°ta
－15°－ta

5°＝________
2cos210°解析：原式＝4si
10°cos10°－si

10°scio
s
55°°－scio
s
55°°
＝2csois
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2si
2si
10°
20°
1
f＝cos
10°－2si
30°－10°2si
10°
cos10°－2si
30°cos10°＋2cos30°si
10°
＝
2si
10°
3＝cos30°＝2
答案：
32
3．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则coAsCA的值等于________，AC的取值范围为________．
解析：设A＝θ，则B＝2θ由正弦定理得si
AC2θ＝siB
Cθ，
∴2coAsCθ＝1coAsCθ＝2
由锐角△ABC得0°2θ90°0°θ45°，
又0°180°－3θ90°30°θ60°，故30°θ45°22cosθ23，
∴AC＝2cosθ∈2，3．
答案：22，34．2012西安名校三检在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的
面积．若向量p＝4，a2＋b2－c2，q＝3，S，满足p∥q，则∠C＝________
解析：由p∥q4S－3a2＋b2－c2＝0，又4S＝4×12absi
∠C＝3a2＋b2－c2，可得si
∠C＝3
a2＋b2－c2×2ab＝
3cos∠C，即ta
∠C＝
3，故∠C＝π3
π答案：3
5．在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos2A＋C＝－43，si
B＝45，则cos2B＋C＝________
解析：∵A为最小角，
∴2A＋C＝A＋A＋CA＋B＋C＝180°
∵cos2A＋C＝－45，∴si
2A＋C
3＝5
∵C为最大角，∴B为锐角．
又si
B＝45，故cosB＝35
即si
A＋C＝45，cosA＋C＝－35
2
f∵cosB＋C＝－cosA＝－cos2A＋C－A＋C＝－2254，∴cos2B＋C＝2cos2B＋C－1＝652257527
答案：625
典例1已知π2βα34πr