2011黄冈中学高考数学新题型选编（共70个题）1、（Ⅰ）已知函数：fx2
1
x
axa
x0
N求函数fx的最小值
a
b
ab
a0b0
N2（Ⅱ）证明2；

a1
a2a3ak
aaaak
123a1a2a3ak均为正数则有kk（Ⅲ）定理若成立
其中k2kNk为常数．请你构造一个函数gx，证明：

a1
a2a3ak1aa2a3ak1
1a1a2a3akak1均为正数时，k1k1当．

1
1
1
1
1解：（Ⅰ）令fx2
x
ax0得2xax2xaxxa…2分
当0xa时，2xxa
fx0
故fx在0a上递减．
当xafx0故fx在a上递增．所以，当xa时，fx的最小值为fa0…4分（Ⅱ）由b0，有fbfa0
1

即fb2abab0
故
a
b
ab
a0b0
N22．………………………………………5分


a1
a2a3ak1aa2a3ak1
1k1k1（Ⅲ）证明要证：
只要证：k1

1


a1a2a3ak1a1a2a3ak1

1


设gxk1a1a2a3xa1a2a3x…………………7分
则gxk1

1

x
1
a1a2akx
1
令gx0得
x
a1a2akk……………………………………………………8分
a1a2ak
1
1k当0x时，gx
kxx
a1a2akx
1
1
a1a2akx
a1a2akx0
故
gx在0
a1a2akaaakgx在12kk上递减，类似地可证递增
f所以
当x
a1a2akaaak时，gxg12kk的最小值为………………10分
a1a2akaaak
aaak
k1
1a1
a2
ak
12a1a2ak12kkk而g
k1
1

ka1a2aka1a2ak
k1a1a2ak
k
k1
1

k1
1
1
ka1a2ak
ka1a2ak
ka1a2ak
a1a2ak
k
k
1

1

由定理知kr