观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数
图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数yfx的周期是函数yfx周期的一半；
②ysi
x不是周期函数
4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈0，，2si
2αcos2α1，则si
α2
A．15
B．55
C．33
【答案】B
D．255
【解析】
2si
2αcos2α1，4si
αcosα2cos2α
α


0
2

cos
α

0
，
si

α

0
2si
αcosα，又si
2cos21，5si
2α1si
2α1，又si
0，si
5，故
5
5
选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数
值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及
正余弦平方和为1关系得出答案．
5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数fxsi
（x）＞0，已知fx在02有且仅有5
5
个零点，下述四个结论：
①fx在（02）有且仅有3个极大值点
②fx在（02）有且仅有2个极小值点
3
f③fx在（0）单调递增
10④的取值范围是12，29
510
其中所有正确结论的编号是
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D
【解析】①若fx在02π上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，fx在02π有且仅有3个极大值点故①正确；
②由图1、2可知，fx在02π有且仅有2个或3个极小值点故②错误；
④当
f
xsi
（x

5
）0
时，x

5
kπ（k∈Z），所以
x

kπ
π5
，
因为fx在02π上有5个零点，
所以当
k5
时，
x

5π
π5

2π
，当
k6
时，
x

6π
π5

2π
，解得125

ω

2910
，
故④正确
③函数fxsi
（x）的增区间为：π2kπxππ2kπ，
5
2
52

2k

710

π

x


310

2k

π



取k0，
4
f当12时，单调递增区间为7πx1π，
5
24
8
当29时，单调递增区间为7πx3π，
10
29
29
综上可得，
f

x

在

0
π10

单调递增故③正确
所以结论正确的有①③④故本题正确答案为D【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分r