第三节函数的奇偶性与周期性
考纲传真1了解函数奇偶性的含义2会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
1．函数的奇偶性
偶函数
奇函数
如果对于函数fx的定义域内任意一个x
定义
都有f－x＝fx，那么函数fx都有f－x＝－fx，那么函数fx是奇函数
是偶函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
2函数的周期性
1周期函数：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，
都有fx＋T＝fx，那么就称函数fx为周期函数，称T为这个函数的周期．
2最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正
数就叫做fx的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
1如果函数fx是偶函数，那么fx＝fx．
2奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反
的单调性．
3如果一个奇函数fx在原点处有定义，即f0有意义，那么一定有f0＝0
2．函数周期性常用结论
对fx定义域内任一自变量的值x：
1若fx＋a＝－fx，则T＝2aa＞0．
f2若fx＋a＝f1x，则T＝2aa＞0．
13若fx＋a＝－fx，则T＝2aa＞0．
基础自测
1．思考辨析判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”
1偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．
2若函数y＝fx＋a是偶函数，则函数y＝fx关于直线x＝a对称．
3若函数y＝fx＋b是奇函数，则函数y＝fx关于点b0中心对称．
4函数fx在定义域上满足fx＋a＝－fxa＞0，则fx是周期为2a的周期函数．
答案1×2√3√4√
2．已知fx＝ax2＋bx是定义在a－12a上的偶函数，那么a＋b的值是
A．－13
1B3
1C2
D．－12
B依题意b＝0，且2a＝－a－1，
∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A．y＝x＋si
2x
B．y＝x2－cosx
C．y＝2x＋21x
D．y＝x2＋si
x
DA项，定义域为R，f－x＝－x－si
2x＝－fx，为奇函数，故不符合题意；
B项，定义域为R，f－x＝x2－cosx＝fx，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f－x＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝fx，为偶函数，故不符合题意；
D项，定义域为R，f－x＝x2－si
x，－fx＝－x2－si
x，因为f－x≠－fx，且f－x≠fx，
故为非奇非偶函数．
4．已知定义在R上的奇函数fx满足fx＋4＝fx，则f8的值为
A．－1
B．0
fC．1
D．2
B∵fx为定义在r