第3节函数的奇偶性与周期性
考试要求1结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义
知识梳理
1函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝
偶函数
关于y轴对称
fx，那么函数fx是偶函数
如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f－x＝
奇函数
关于原点对称
－fx，那么函数fx是奇函数
2函数的周期性
1周期函数：对于函数y＝fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内
的任何值时，都有fx＋T＝fx，那么就称函数y＝fx为周期函数，称T为这个
函数的周期
2最小正周期：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这
个最小正数就叫做fx的最小正周期
微点提醒
11如果一个奇函数fx在原点处有定义，即f0有意义，那么一定有f0＝0
2如果函数fx是偶函数，那么fx＝fx
2奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具
有相反的单调性
3函数周期性常用结论
对fx定义域内任一自变量的值x：
1若fx＋a＝－fx，则T＝2aa02若fx＋a＝f（1x），则T＝2aa0
f3若fx＋a＝－f（1x），则T＝2aa04对称性的三个常用结论1若函数y＝fx＋a是偶函数，则函数y＝fx的图象关于直线x＝a对称2若对于R上的任意x都有f2a－x＝fx或f－x＝f2a＋x，则y＝fx的图象关于直线x＝a对称3若函数y＝fx＋b是奇函数，则函数y＝fx关于点b，0中心对称
基础自测
1判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”1函数y＝x2在x∈0，＋∞时是偶函数2若函数fx为奇函数，则一定有f0＝03若T是函数的一个周期，则
T
∈Z，
≠0也是函数的周期4若函数y＝fx＋b是奇函数，则函数y＝fx的图象关于点b，0中心对称解析1由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在0，＋∞上不具有奇偶
性，1错
2由奇函数定义可知，若fx为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f0＝0，2
错
3由周期函数的定义，3正确
4由于y＝fx＋b的图象关于0，0对称，根据图象平移变换，知y＝fx的图象
关于b，0对称，正确答案1×2×3√4√
2必修1P35例5改编下列函数中为偶函数的是
Ay＝x2si
xCy＝l
x
By＝x2cosxDy＝2－x
f解析根据偶函数的定义知偶函数满足f－x＝fx且定义域关于原点对称，A选
项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为0，＋∞，不具有奇偶性；D选
项既不是奇函数，也不r