浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法
摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理11关键字：随机变量函数概率密度
一、定义1：如果存在一个函数gx，使得随机变量XY满足YgX则称随机
变量Y是随机变量X的函数，那么随机变量Y的概率密度函数称为随机变量函数的概
率密度函数。
二、（经典公式法）定理1：设随机变量X具有概率密度fXxxR，又设
ygx出处可导且恒有gx0或gx0则YgX是一个连续性随
机变量，其概率密度函数
fY
y


fX
g1y
0
g1
y
其他

y


（11）
该定理中给出的求解方法要求函数ygx必须是一对一的单射。然而，在我们
实际教学中，学生经常会遇到这样的问题：设随机变量X的概率密度函数为
fX
x
求随机变量函数Y


X

12
2

的概率密度函数。显然在这情况下，使用定
理1的求法是不满足其使用条件的。
定理
2
23设连续型随机变量
X
的概率密度函数
px


f
x
0

axb其他
ygx为区间ab上连续的函数，若每一个y对应唯一x的表达式记为
h1yh2yh3y，h
y且均连续可导，对应的定义域
记作：I1I2I3，I
则随机变量函数YgX的概率密度函数为


fY

y


i1
fX
hiy
hiy

0，
yIii123
其他
f该方法基于熟悉的公式法，拓宽了求解连续性随机变量函数的概率密度的方法，弥补了定理1，中的缺陷，解除了初学者使用时的困惑。针对三本院校学生基础知识薄弱，我们在教学中在严格遵守教学规律的同时，坚持以用为本，淡化概念定理的推到证明。从而融合定理1、定理2的思想方法归纳总结出以下结论三、求概率密度函数的四步法：
（1）反解ygx得
x1h1y，ya1b1x2h2yya1b2x
h
yya
b

（2）使用数轴以ai，bii123
为端点将aibii123
的子区间
a1b1a2b2ambmm

分割成互不重合
（3）确定每个区间ajbj上的hiyi12
j并求出该区间上概率密度函数

j
fYjfXhiyhiyj123mi1

fY1y
（4）确定概率密度函r