分离变量法驻波法求一维有界区域的自由振动问题第二类齐次边界条件：
uttxta2uxxxtuxl0uxx00utt0ψxut0x
其中x，ψx，为已知函数．
0≤x≤l
解：依题意设定解问题的解为uxtXxTt其中Xx只是x的函数，与t无关，Tt只是t的函数，与x无关．代入方程得
TtXxa2XxTt
TtXx2aTtXx
等式两边分别是t和x两个独立变量的函数，要使它们相等，必须都等于一个常数，设为λ即
TtXxλ2aTtXx
则得到两个常微分方程
Ttλa2Tt0XxλXx0
由边界条件有X00
12Xl03
当λ0或λ0方程2都只有平凡解uxt0当λ0时2的解为XxC1cos将4代入3的第一式得X0C2第二式得
λxC2si
λx
4
C1C2为任意常数
λ0C20，C1不可能为0，4代入3的而再将
2
1π2
1πλ22l
XlC1cosλl0cosλl0λl
（
123）∴λ只能取相应的一系列值
1
fλλ

2
12π24l2
（
123）由定解问题决定的本征值
而XxX
xC1cos将λλ

2
1πx由定解问题决定的本征函数2l
2
12π2代入1，解得4l2
2
1πa2
1πatB
si
tA
B
为任意常数2l2l2
1πa2
1πa2
1π∴u
xtX
xT
tA
costB
si
tC1cosx2l2l2l2
1πa2
1πa2
1πA
costB
si
tcosx2l2l2l
TtT
tA
cos
即而
uxt∑u
xt∑A
cos
1
1
∞
∞
2
1πa2
1πa2
1πtB
si
tcosx2l2l2l
utxt∑A

1
∞
2
1πa2
1πa2
1πa2
1πa2
1πsi
tB
costcosx2l2l2l2l2l
任意常数A
，B
的确定由初始条件有
ut0xx∑A
cos
1
∞
2
1πx2l
0≤x≤l
A

2l2
1π∫0ξcos2lξdξl
∞

1230≤x≤l
ut
t0
ψx∑
2
1πa2
1πB
cosx2l2l
1

2
1πa2l2
1πB
∫ψξcosξdξ2ll02l
l42
1π∫0ψξcoslξdξ2
1πa
B

123
103分离变量法驻波法求一维有界区域的自由振动问题第二类齐次边界条件：
2
futtxta2uxxxtuxxl0ux00utt0ψxut0x
其中x，ψx，为已知函数．
0≤x≤l
解：依题意设定解问题的解为uxtXxTt其中Xx只是x的函数，与t无关，Tt只是t的函数，与x无关．代入方程得
TtXxa2XxTt
Ttr