高考数学复习总结归纳点拨
抽象函数的对称性
关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。
一、设yfx是定义在R上的函数，若faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对称。
2证明：设点A（m，
）是yfx图象上任一点，即fm
，点A关于直线xab
2
的对称点为Aabm，
。
∵fabmfbbmfm
∴点A也在yfx的图象上，故yfx的图象关于直线xab对称。2
二、设yfx是定义在R上的函数，则函数yfax与函数yfbx的图象关于直线xba对称。
2证明：设点A（m，
）是yfax图象上任一点，即fam
，点A关于直
线xba的对称点为Abam，
。2∵fbbamfam
∴点A在yfbx的图象上反过来，同样可以证明，函数yfbx图象上任一点关于直线xba的对称点
2也在函数yfax的图象上，故函数yfax与函数yfbx的图象关于直线xba对称。
2
说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
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f高考数学复习总结归纳点拨
易知，函数y
f

x

a
2
b
与y

f

x

a
2
b
的图象关于直线x0对称，由
y

fx
a
2
b

的图象平移得到
y
f

x

b
2
a

a
2
b


fax的图象，由
y

f
x

a
2
b

的图象平移得到y

f
x
b
2
a

ab2

f
b
x
的图象，它
们的平移方向和长度是相同的，故函数yfax与函数yfbx的图象关于直线xba对称。
2
三、设yfx是定义在R上的函数，若fax2cfbx，则函数yfx
的图象关于点

a
2
b
，c
对称。
证明：设点Am，
是yfx图象上任一点，则fm
，点A关于点

a
2
b
，c
的对称点为
A
a

b

m，2c



。
∵fabm2cfbbm2cfm2c

∴点A也在
y

f
x的图象上，故y

f
x的图象关于点a
2
b
，c
对称
说明：（1）当abc0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的
逆命题也成立。
四、设yfx是定义在R上的函数，则函数yfr