第5章特征值与特征向量
5１特征值与特征向量
练习51
1证明特征值与特征向量的性质3
设za0a1zamzm是一个多项式．又设0是矩阵A的一个特征值是其对应的一个特征向量则0a0a10am0m是矩阵多项式Aa0Ea1AamAm的一个特征值仍是其对应的一个特征向量
证由A0得Aa0a1AamAm
a0a10am0m0
再由定义得证
2求矩阵
的全部特征值与特征向量解由
122
A


3
1
1

221
fAEA332
得A的特征值为13233（二重
当13时，解齐次方程组3EAx0得基础解系
1111T
所以属于13的全部特征向量为k11（k10
当233时解齐次方程组3EAx0得基础解系
2121T
f所以，233的全部特征向量为k22（k20）．
３求平面旋转矩阵
的特征值解由
G

cossi

si

cos

fEGcossi
22cos1
si
cos
得矩阵G的两个特征值为
1cos1si
，2cos1si

４已知111T是矩阵
212
A


5
a
3

1b2
的一个特征向量试确定ab的值及特征向量所对应的特征值
解设所对应的特征值为则由A即EA0得
2121
2120

5
a
3

1


0

5a30
1b21
1b20
解之得a3b01
5．设3阶矩阵A的三个特征值为112233与之对应的特征向量分别为
求矩阵A解由假设
1211T2212T3301T
A12312233
矩阵123可逆所以
A122331231
f24914332618


1
2
0

1
5
3



1
6
3

143164023
6．设3阶矩阵A的特征值为112求行列式AA1A
解记A的特征值为112132则A1232AAA12A1
AA1A2A1A1A3A1A
故AA1A的特征值为i3i1ii123，计算得
1

22

23

12
所以
AA1A1232
7设A2A证明A的特征值只能是0或1
解设是A的特征值则AA2A有特征值21
由于AO故其特征值全为零，所以10从而0或1
8（1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；
（2）设12为矩阵阵A的两个不同的特征值对应的特征向量分别为1和2证明k11k22k10k20不是A的特征向量．
证1）设A的对应于特征向量的特征值有1和2，即A1A2
由此推出120由于0，因此122）反证假设k11k22是A的特征向量，对应的特征值为，即
Ak11k22k11k22
f由A111A222，得
Ak11k22k1A1k2A2k111k222k11k22
移项
k111k2220因12线性无关所以
k110k220由k10k20得12，这与12矛盾
5．2方阵的对角化
练习5．２
1．r