得
d2d12d22d32
a22a12a32a5

b2c2
2b12c1
2b32c3
2b52c5
c4c3
c3c2
得
d22d12d32d5
a22a122

b2c2
2b122c12
22
0

d22d122
1111
4
aa2
bb2
cc2
dd2
a4b4c4d4
abacadbcbdcdabcd
证明
f1111abcda2b2c2d2a4b4c4d4
11
1
1

00
babba
cacca
dadda
0b2b2a2c2c2a2d2d2a2
1
1
1
bacadab
c
d
b2bac2cad2da
1
1
1
bacada0
cb
db
0ccbcbaddbdba
b

ac

ad

ac
bd

bcc
1b

a
1ddba
abacadbcbdcdabcd
x1000
5
0
x
1

0
0
x
a1x
1a
1xa

000x1
a
a
1a
2a2xa1
证明用数学归纳法证明
当
2时
D2

xa2
1xa1

x2

a1x

a2

命题成立
假设对于
1阶行列式命题成立即
D
1x
1a1x
2a
2xa
1
则D
按第一列展开有
f1000
D


xD
1
a
1
1
x
1

0
0
11x1
xD
1a
x
a1x
1a
1xa

因此对于
阶行列式命题成立
6设
阶行列式Ddetaij把D上下翻转、或逆时
针旋转90、或依副对角线翻转依次得
a
1a

D1

a11

a1


a1
a

a
a1

D2

a11

a
1

D3

a
1


a11

1
证明D1D212DD3D证明因为Ddetaij所以
a
1
D1

a11

a
a1

a111
1a
1
a21

a1
a
a2

a11a1
a21a2
1
11
2a
1a

a31a3


1
112
2
1D12D
同理可证
fa
111a
1

1

1
D21
2
1a1
a

2
DT1
2
D

1

1

1
D312D21212D1
1DD
7计算下列各行列式Dk为k阶行列式
a1
1D
其中对角线上元素都是a未写出的元
1a
素都是0
解
a0001
0a000
D


0
0
a

0
0
按第


行展开
000a0
1000a
00001a00001
10a000
a12
a
a
000a0
1
1

1
1
a
1
11

a
a
a
2a
2a21
a

2
2
fxaa
2D


a
x

a

aax
解将第一行乘1分别加到其余各行得
xaaa
axxa00
D


ax
0
xa
0

ax000xa
再将各列都加到第一列上得
x
1aaaa
0D
0
0
xa00xa
00
x
1axa
1

000xa
a
a1
a

a
1a1
1a
13D
1
aa1a
111
解根据第6题结果有
111
a
1a1a

D
11
2
a
1a1
1a
1
a
a1
a

此行列式为范德蒙德行列式

1
D
112
ai1aj1

1ij1
f
1
12ij
1ij1

1

11
1212ij

1ij1
ij
1ij1
a

b

4D2

a1b1c1d1

c

d

解
a

b

D2

a1b1c1d1
按第1行展开
c

d

a
1
b
10
a1b1
a

c1d1
c
10

d
100d

f0a
1
b
1
12
1b

a1b1
c1d1

c
1
d
1
c

0
再r